极简中文网

手机浏览器扫描二维码访问

第三百零四章 黎曼流形流形（第1页）

是一种用黎曼度量的微分流形。

黎曼流形就是给定了一个光滑的对称、正定的二阶张量场的光滑流形。

给了度量以后，我们就可以像初等几何学中一样，测量长度，面积，体积等量。

流形是一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间，在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系，使得任何两个（局部）坐标系间的坐标变换都是连续的。

n维流形的概念在18世纪法国数学家拉格朗日的力学研究中已有萌芽。

19世纪中叶英国数学家凯莱（1843）、德国数学家格拉斯曼（1844，1861）、瑞士数学家施勒夫利（1852）分别论述了n维欧几里得空间理论，把它视为n个实变量的连续统。

1854年德国数学家黎曼在研究微分几何时用归纳构造法给出一般n维流形的概念：n维流形是把无限多个（n-1）维流形按照一维流形方式放在一起而形成的，从此开始流形的拓扑结构及其局部理论的研究。

法国数学家庞加莱在19世纪末把n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维欧氏空间同胚的邻域（被称为庞加莱流形），从而开辟了组合拓扑学的道路。

对流形的深入研究集中在流形上的微分结构与组合结构的存在性、唯一性问题，微分结构与组合结构的关系，流形的各种意义下的分类等问题，20世纪50—60年代做出许多重要结果，近几十年来出现有限维带边流形和无限维流形概念。

流形理论在与其他拓扑理论的相互结合发展中也提出许多问题，其研究仍在继续。

流形上的黎曼度量给定后，我们可以得到一个唯一确定的对称（即无挠）联络，并且它保持黎曼度量。

这个联络称为这个黎曼度量的Levi-Civita联络。

有了联络，我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数，从而建立起流形上的微分学。

欧氏空间的联络就是通常意义上的向量函数的微分。

黎曼度量还诱导出曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度。

曲率处处为零的流形称为平坦黎曼流形。

欧氏空间就是最常见的平坦流形。

德国数学家高斯最早研究了曲面上的曲率，发现这种曲率是内蕴的，尽管它的定义式不是内蕴的。

喜欢数学心请大家收藏：（aiquwx）数学心

请勿开启浏览器阅读模式，否则将导致章节内容缺失及无法阅读下一章。

和扶弟魔老婆离婚后，我送她全家升天  CS：不是，你的残局靠请神啊？  重生后在前世死对头怀里兴风作浪  弃我选白月光？我离婚你疯什么！  末世降临：我招收下属，获得百倍物资  系统盯上龙椅后，公主天天作死  死亡来信  聊天群：开局获得赛亚人血脉  一本杂录  带白月光回家，我离婚你悔啥？  离婚后，傅先生对她俯首称臣  要离婚你高冷，再婚又发疯？  从流民到皇帝，朕这一生如履薄冰  我与仙子不两立  苟在末日，独自修仙  重生79，离婚后知青老婆她后悔了  全家逼我离婚，现在后悔有用么  庆余年：范府大宗师  重生1961，开局相亲对象就被截胡！  糟了，那妖女也重生了！